OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT (Bag. 3)

Pembagian pada Bilangan Bulat

Misalkan ditentukan p × 8 = 48. Untuk mencari nilai p dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

1. Cara perkalian, yaitu dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 8 hasilnya 48 di mana bilangan itu adalah 6.
2. Cara pembagian, yaitu dengan membagi 48 dengan 8, yang hasilnya adalah 6.

Dengan demikian, membagi 48 dengan 8 sama artinya dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 8 hasilnya sama dengan 48 yang berarti 48 : 8 = 6 ⇔ 6 × 8 = 48.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian, secara umum dapat dituliskan:






Contoh
1.   30 : 5 = 6   sebab   5 × 6 = 30
2.   16 : (–4) = –4   sebab   –4 × (–4) = 16
3.   –10 : 5 = –2   sebab   5 × (–2) = –10
4.   –8 : (–2) = 4   sebab   –2 × 4 = –8

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

1. hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif,
2. hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif,
3. hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif atau sebaliknya adalah biangan negatif.

Pembagian Bilangan Bulat dengan Nol (0).

Misalkan 
5 : 0 = p ⇔ 0 × p = 5
Tidak ada satu pun pengganti p pada bilangan bulat yang memenuhi 0 × p = 5, sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Pembagian Bilangan Bulat oleh Nol (0).

Untuk pembagian 0 : 3 = n, adakah pengganti n yang memenuhi?
Perhatikan uraian berikut:
0 : 3 = n ⇔ 3 × n = 0
Pengganti n yang memenuhi 3 × n = 0, adalah 0.
Jadi, kesimpulannya adalah






Sumber: BSE Biologi kelas 8 SMP

OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT (Bag. 2)

Perkalian pada Bilangan Bulat

Perkalian dapat juga diartikan sebagai penjumlahan berulang.

Misalkan:
5 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4

atau

a. Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:
1.  1 × (–5) = –5               4.  4 × (–5) = –20
2.  2 × (–5) = –10             5.  5 × (–5) = –25
3.  3 × (–5) = –15

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

b. Perkalian Dua Bilangan Bulat Negatif

Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:
1.  3 × (–3) = –9          5.  –1 × (–3) = 3
2.  2 × (–3) = –6          6.  –2 × (–3) = 6
3.  1 × (–3) = –3          7.  –3 × (–3) = 9
4.  0 × (–3) = 0

Dari contoh 5, 6, dan 7 di atas hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

c. Perkalian Bilangan Bulat dengan Nol (0)

Perhatikan perkalian berikut ini!
1.  5 × 0 = 0
2.  –3 × 0 = 0
3.  0 × 2 = 0

Untuk semua bilangan apabila dikalikan dengan nol (0) hasilnya adalah nol.

d. Unsur Identitas pada Perkalian

Semua bilangan bulat bila dikalikan dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan
itu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut unsur identitas pada perkalian.
Misalnya:
1.  10 × 1 = 10         3.  –5 × 1 = –5
2.  5 × 1 = 5             4.  –3 × 1 = –3

e. Sifat-Sifat Perkalian

1. Tertutup
   Misalnya:
   #    2 × 5 = 10, 2 dan 5 bilangan bulat, hasil kalinya 10 juga bilangan bulat.
   #  –5 × 7 = –35, –5 dan 7 bilangan bulat, hasil kalinya –35 juga bilangan bulat.
   Jadi, dapat disimpulkan bahwa perkalian dua buah bilangan bulat atau lebih bersifat tertutup dan dirumuskan dengan:
   
   
   
2. Komutatif (Pertukaran)
   Perhatikan operasi perkalian berikut ini:
   # 5 × 3 = 15
   # 3 × 5 = 15
   Jadi 3 × 5 = 5 × 3 = 15
   
   Secara umum dituliskan
   
   
   
3. Asosiatif (Pengelompokkan)
   Perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini!
   a.  {6 × (–5)} × (–2) = –30 × (–2) = 60
   b.  6 × {–5 × (–2)} = 6 × 10 = 60
   Jadi, {6 × (–5)} × (–2) = 6 × {–5 × (–2)}
   Maka kesimpulannya adalah:
   
   
   
4. Distributif
   Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini!
   a.  5 × (6 – 2) = 5 × 4 = 20
   b.  5 × (6 – 2) = (5 × 6) – (5 × 2) = 30 – 10 = 20
   c.  5 × (6 + 2) = 5 × 8 = 40
   d.  5 × (6 + 2) = (5 × 6) + (5 × 2) = 30 + 10 = 40
   Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan bulat mempunyai
   sifat distributif, sehingga dapat dirumuskan:
   
   

Sumber: BSE Biologi kelas 8 SMP

OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT (Bag.1)

Operasi Penjumlahan pada Bilangan Bulat

Penjumlahan pada bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan. Pada garis bilangan telah disepakati bahwa arah bilangan bulat positif ke kanan dan arah bilangan bulat negatif ke kiri. Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut ini:

Contoh 1

1. Hitunglah penjumlahan:
   a. 4 dan 5          b. 5 dan (–2).
   
   Penyelesaian:
   a. Dari nol sebagai titik pangkal, kita melangkah 4 satuan ke kanan, dilanjutkan dengan 5 satuan ke kanan. Hasil penjumlahannya adalah jarak dari titik nol ke posisi terakhir, yaitu 9.
   
   Jadi 4 + 5 = 9
   
   
   b. Dari titik nol kita melangkah 5 satuan ke kanan, kemudian melangkah 2 satuan ke kiri.
   Hasil penjumlahannya adalah 3.
   
   Jadi, 5 + (–2) = 3
   
   
   
2. Hitunglah penjumlahan –3 dan –4:
   Penyelesaian:
   
   
   Jadi, (–3) + (–4) = –7.
   

Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

1. Sifat tertutup
   Perhatikan contoh di bawah ini:
   a. 2 + 9 = 1
   2 dan 9 adalah bilangan bulat.
   Hasil penjumlahannya 11, juga bilangan bulat.
   
   b. (–11) + (–9) = –20
   –11 dan –9 adalah bilangan bulat
   Hasil penjumlahannya –20, juga bilangan bulat.
   
   c. –12 + 25 = 13
   –12 dan 25 adalah bilangan bulat.
   Hasil penjumlahannya 13, juga bilangan bulat.
   Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dua buah bilangan bulat atau lebih akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga.
   
   
   Sifat ini disebut tertutup terhadap penjumlahan bilangan bulat.
   
   
2. Sifat komutatif (pertukaran)
   Perhatikan beberapa contoh berikut:
   a. 5 + 7 = 12
   7 + 5 = 12
   Jadi, 5 + 7 = 7 + 5
   
   b. 10 + (–5) = 5
   (–5) + 10 = 5
   Jadi, 10 + (–5) = (–5) + 10
   
   c. –4 + (–5) = –9
   (–5) + (–4) = –9
   Jadi, –4 + (–5) = –5 + (–4)
   Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:
   
   
   Sifat ini disebut komutatif (pertukaran) terhadap penjumlahan bilangan bulat.
   
   
3. Sifat asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan bilangan bulat.
   Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
   a. (–5 + 7) + 8 = 2 + 8 = 10
   –5 + (7 + 8) = –5 + 15 = 10
   Jadi, (–5 + 7) + 8 = –5 + (7 + 8)
   
   b. {7 + (–2)} + 6 = 5 + 6 = 11
   7 + {(–2) + 6} = 7 + 4 = 11
   Jadi, {7 + (–2)} + 6 = 7 + {(–2) + 6}
   
   c. {–3 + (–6)} + (–5) = –9 + (–5) = –14
   –3 + {(–6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
   Jadi, {–3 + –6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}
   Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa
   
   
   Sifat ini disebut asosiatif terhadap penjumlahan bilangan bulat.
   
   
4. Unsur identitas penjumlahan
   Perhatikan contoh-contoh berikut:
   a. 2 + 0 = 2       c. –10 + 0 = –10
   b. 5 + 0 = 5      d. 0 + 2 = 2
   Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
   penjumlahan suatu bilangan dengan nol atau sebaliknya akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Nol disebut unsur identitas penjumlahan.
   
   
   
5. Invers/lawan
   Setiap bilangan bulat mempunyai invers atau lawan. Lawan dari suatu bulangan bulat adalah bilangan bulat lain yang letaknya pada garis bilangan berjarak sama dari titik nol, tetapi arahnya berlawanan dengan bilangan bulat semula.
   
   Contoh 2
   Tulislah lawan dari 5.
   Penyelesaian:
   
   Kita cari bilangan lain yang berjarak sama dari 0, tetapi arahnya berlawanan dengan 5. Bilangan itu adalah –5. Jadi, invers (lawan) dari 5 adalah –5.
   Secara umum dituliskan:
   
   

Operasi Pengurangan pada Bilangan Bulat

Pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangannya, misalnya:

1. 8 – 5 = 8 + (–5) = 3
   Jadi, 8 – 5 = 8 + (–5)
2. –1 – 4 = –1 + (–4) = –5
3. 9 – (–5) = 9 + 5 = 14
   
   

Sumber: BSE Biologi kelas 8 SMP

Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat Negatif

Selama bulan Januari suhu tertinggi di kota Berlin, Jerman 2°C di atas titik beku (0°C) dan suhu terendah 3°C di bawah titik beku. Bilangan apakah yang digunakan untuk kondisi cuaca seperti di atas? Cukupkah bilangan asli atau bilangan cacah untuk menyatakan kondisi suhu tersebut? Perhatikanlah uraian berikut ini.

Untuk suhu 2° C di atas titik beku (0° C) biasa ditulis +2° C atau 2°C, sedangkan untuk suhu 3°C di bawah titik beku (0°C) biasa ditulis –3°C. Bilangan +2 dan –3 adalah contoh bilangan bulat dan berturut-turut disebut bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif (+2 dibaca "positif 2" dan –3 dibaca "negatif 3")

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan huruf B dan dituliskan dengan B = {...,3,2,1,0,1,2,3,....}
Bilangan bulat dapat juga digambarkan pada garis bilangan. Perhatikan gambar garis bilangan pada diagram berikut ini.




Contoh 1

1. Tuliskanlah:
   a. Himpunan bilangan bulat di antara –8 dan 4!
   b. Himpunan bilangan genap di antara –6 dan 3!
   c. Himpunan bilangan ganjil di antara –5 dan 2!
   
   Penyelesaian:
   Himpunan bilangan bulat di antara –8 dan 4 adalah {–7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
   
   
   Himpunan bilangan bulat genap di antara –6 dan 3 adalah {–4, –2, 0, 2}.
   
   
   Himpunan bilangan bulat ganjil di antara –5 dan 2 adalah {–3, –1, 1}.
   
   
   

Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat

Pada garis bilangan berlaku:
1. Jika a terletak di sebelah kanan b, maka a > b.
2. Jika a terletak di sebelah kiri b, maka a < b.
    Misalkan:  7 berada di sebelah kanan 5, maka 7 > 5
                    –5 berada di sebelah kiri –3 maka –5 < –3.

Contoh 2

1. a. 15°C di atas titik beku        c. 100 m di bawah permukaan laut
   b. 6°C di bawah titik beku     d. 200 m di atas permukaan laut.
   Pernyataan-pernyataan di atas dapat dituliskan menjadi ...
   
   Penyelesaian:
   a. 15°C       c. –100 m
   b. –6°C       d. 200 m
   
   
   
2. Apakah artinya jika dituliskan:
   a. –13°C      c. –150 m
   b. 28°C        d. 250 m
   
   Penyelesaian:
   a. –13°C artinya 13°C di bawah titik beku (0°C)
   b. 28°C artinya 28°C di atas titik beku (0°C)
   c. 150 m di bawah permukaan laut
   d. 250 m di atas permukaan laut
   
   
   
3. Antara –5°C dan –3°C, manakah suhu yang lebih tinggi?
   
   Penyelesaian:
   Perhatikan gambar garis bilangan berikut.
   
   Dari gambar di atas terlihat bahwa –3 berada di sebelah kanan –5. Jadi, –3°C lebih tinggi dari –5°C.
   
   
   
4. Dalam ujian matematika ditetapkan aturan sebagai berikut: siswa yang dapat mengerjakan soal dengan benar diberi skor 4, yang tidak menjawab diberi skor 0, dan siswa yang menjawab tetapi salah diberi skor –1. Perhatikan tabel berikut:
   
   Urutkan total skor siswa dari yang terkecil sampai yang terbesar.
   
   Penyelesaian:
   Total skor di atas termasuk bilangan bulat. Salah satu cara untuk mengurutkan bilangan ini adalah dengan menggunakan garis bilangan.
   
   
   Bilangan yang terletak di sebelah kiri bernilai kurang dari bilangan yang terletak di sebelah kanannya. Dengan demikian, urutan total skor siswa dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah –6, –4, –1, 0, 4.

Sumber: BSE Biologi kelas 8 SMP